Gleichungen

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine Rechnung mit unbekanntem Ergebnis. Sie zeigt, dass zwei Terme gleich groß sind. Deine Aufgabe ist es, den Wert der Unbekannten zu finden. Gleichungen sind das zentrale Werkzeug der Algebra.
Wie der Name schon sagt wird etwas gleichgestellt, die linke und die Rechte Seite.
Im allgemeinen nennt man die linke bzw. rechte Seite auch einen Term. Dieser ist eine kombination aus den Grundrechenarten + , - , · oder ÷
Zum Beispiel 1 + 1 oder 2 · 3 oder 2 · (3 + 1)

Mit der Gleichsetzung (Gleichstellung) wird die Behauptung aufgestellt, dass das Ergebnis der linken Seite gleich der rechten Seite ist. In einigen Fällen geht es darum genau dies zu beweisen.

Ein Beispiel
Zwei Kinder streiten sich. Das eine Behauptet mehr Murmeln zu haben als der andere.

Kind 1 hat 3 blaue, 3 rote und 10 grüne Murmeln in einer Tasche und 10 weiße Murmeln in seiner Hand.
Um zu berechnen wieviele Mulmeln das Kind hat, kann man daraus nun einen Term bilden: (3 blau + 3 rot + 10 gelb ) + (10 weiß)
Da uns hier die Farben der Murmeln nicht interessiert, können wir sie auch weglassen. (3 + 3 + 10) + (10)

Info: Die Klammern kann man in diesem einfachen Beispiel auch weglassen. Sie sollen nur verdeutlichen, wie eine Gruppierung, in diesem Fall die Tasche oder die Hand, vorzunehmen wäre. So kann ein Term anfangs sehr lang werden. Ihn zu vereinachen ist ein wichtiger Teil der Mathematik

Kind 2 hat zwei Beutel mit jeweils 5 roten, 5 blauen und 3 gelben Murmeln
Der Term sieht also so aus: 2 · (5 rot + 5 blau + 3 gelb) oder 2 · (5 + 5 + 3)

Wir behaupten jetzt einfach mal beide Kinder haben gleich viele Murmeln, also setzen wir die beiden Terme gleich. Es ist dabei unwichtig was links oder rechts ist, da sie ja gleich sind.
2 · (5 + 5 + 3) = (3 + 3 + 10) + (10)

Nun Berechnen wir jeden Term für sich und schauen ob wir mit unserer Vermutung recht hatten
2 · (5 + 5 + 3) = 2 · (13) = 26
(3 + 3 + 10) + (10) = (16) + (10) = 26
Und siehe da, sie haben Gleich viele Murmeln.

Natürlich macht es wenig Sinn so eine einfach Aufgabe schriftlich zu rechnen. Also verändern wir sie ein wenig und machen eine Frage daraus.
Angenommen die Kinder hätten mehrere Beutel mit Murmeln, wir wissen aber nicht wie viele es sind. Wann hätten sie dann gleich viele Murmeln?
Schauen wir uns doch einmal die beiden Terme dazu an:

Kind 1:
Summe der Murmeln = x Beutel · (3 + 3 + 10) + (10) oder zusammengefasst x · 16 + 10

Kind 2
Summe der Murmeln = y Beutel · (5 + 5 + 3) oder zusammengefasst y · 13

Nun setzen wir das ganze gleich, da wir ja wissen wollen, wann sie gleich viele haben:
13 · y = 16 · x + 10

So etwas haben wir ja schon mal gesehen, oder?
Wir haben also eine Abhängigkeit zwischen y und x gefunden. 13y = 16x + 10

Aber was machen wir hier eigentlich genau. Im Grunde haben wir hier zwei Geradengleichungen in unseren Termen versteckt. Diese bilden unseres Gleichungssystem, da wir beide brauchen um unsere Frage zu beantworten.
Oben habe ich vieles vereinfacht. Nun schauen wir uns es aber mal richtig an.

Term 1: 13 · x1 = y1
Term 2: 16 · x2 + 10 = y2

Die Frage lautet mathematisch Korrekt wann ist y1 = y2 = Murmeln gesamt.
Jetzt erkennt man auch die beiden Gerdanegleichungen. Was ich damit zeigen will, ist das es in der Mathematik unheimlich wichtig ist, alles genaustens zu beschreiben. Da das x in Term 1 ein ganz anderes ist als in Term 2, bennen wir es auch mit x1. Den nächsten Schritt, den ich oben ebenso vereinfacht habe schreibt man in der Mathematik so:

Sei x1 = y, x2 = x und y1 = y2
⇒ 13 · y = y1 = y2 = 16 · x + 10
⇒ 13 · y = 16 · x + 10
⇒ y = 16/13 x + 10/13

Ohne weitere Informationen gibt es also keine einfache Lösung, sondern eine Lösungsmenge. Das heißt je nach dem wieviele Beutel das eine Kind hat muss das andere entsprechend viele besitzen.

Um diese Lösungsmenge darzustellen gibt es Graphen, an denen wir in den Punkten (x/y) die Anzahl an Beuteln leicht ablesen können.
Das Bedeutet, dass jeder Punkt in einem Graphen ein Lösungspaar ergibt. Was man dann in einer Wertetabelle festhalten kann.

Lehrer stellen dazu gerne ganz wunderbare Fragen wie:
Wieviel Beutel hat Kind 1, wenn Kind 2 10 Beutel hat.
Oftmals gibt es Punkte auf das zusammenstellen des Terms, auf die Überführung in eine Gleichung und auf die Lösungsmenge.